11.4. Переходные процессы при включении конденсатора на постоянный напряжение

Теория  /  11.4. Переходные процессы при включении конденсатора на постоянный напряжение

После замыкания ключа емкость начинает заряжаться и по цепи будет протекать ток, который уменьшается по мере того, как емкость заряжается.

Рассмотрим схему цепи, содержащей  емкость и резистивный элемент (рис. 11.6) и подключаемой к источнику постоянного напряжения.

Составим для данной схемы уравнение по второму закону Кирхгофа для независимой переменной иС:

Решаем это уравнение классическим методом.

Решение ищем в виде суммы свободной и принужденной составляющих

Принужденную составляющую определяем в установившемся режиме. Исходя из закона Ома, напряжение на резистивном элементе можно определить по формуле

В свою очередь ток определяем из закона Ома для полной цепи:

Поскольку частота постоянного тока равна нулю, то емкостное сопротивление будет бесконечно большим и ток установившегося режима становится равным нулю I = 0.

Следовательно, падения напряжения на резисторе не будет, и согласно второму закону Кирхгофа все напряжение будет приложено к емкости:

Для определения свободной составляющей запишем характеристическое уравнение. Рассмотрим два способа, используя которые можно составить характеристическое уравнение.

1. Заменим в дифференциальном уравнении

символ дифференцирования     и приравняем нулю источники U = 0, получим

2. Запишем выражение для комплексного сопротивления цепи и приравниваем его нулю  

Решение для свободной составляющей  записываем в виде

Полное напряжение запишется

Постоянную интегрирования А находим, исходя из законов коммутации и независимых начальных условий.

В первый момент переходного режима t = 0 напряжение на емкости остается таким же, каким было в последний момент предшествующего установившегося режима, а до включения цепи оно было равно нулю, следовательно,

Подставляем в выражение для напряжения значение при t = 0

Окончательно выражение для напряжения на емкости запишется

     – постоянная времени переходного процесса.

График переходного процесса представлен на рис. 11.7.

Найдем закон изменения емкостного тока.

Известно, что ток, протекающий в емкости выражается следующей формулой: 

Подставим сюда выражение для напряжения и продифференцируем

Таким образом, в первый момент переходного процесса t = 0  емкостный ток скачком увеличивается до максимального значения U/R, а затем экспоненциально уменьшается до нуля.

Отключение емкости, заряженной до напряжения иС = U, выполняют с одновременным замыканием ее накоротко (рис. 11.8).

В момент коммутации ток меняет направление на противоположное и конденсатор начинает разряжаться, рассеивая накопленную энергию на резистивном элементе. Следовательно, по мере разрядки конденсатора ток будет уменьшаться, а принужденная составляющая напряжения на емкости стремиться к нулю. 

Дифференциальное уравнение для этой цепи имеет вид

Составим характеристическое уравнение, заменяя в дифференциальном уравнении символ дифференцирования

     

Решение для свободной составляющей ищем в виде

Поскольку принужденная составляющая равна нулю, то полное напряжение на емкости опишется этим же уравнением:

Постоянную интегрирования А находим, исходя из законов коммутации и независимых начальных условий.

В первый момент переходного режима t = 0 напряжение на емкости остается таким же, каким было в последний момент предшествующего установившегося режима, а до выключения цепи оно было равно  U, следовательно,

Подставляем в выражение для напряжения значение при t = 0, получим U=A

Окончательно выражение для напряжения на емкости запишется

Разрядный ток равен

Изменение напряжения и тока при отключении емкости представлено на рис. 11.9. 

Комментариев нет:

Отправка комментария