11.8. Операторный метод расчета переходных процессов

Теория  /  11.8. Операторный метод расчета переходных процессов

Операторный метод расчета переходных процессов основан на замене реальных функций времени (оригиналов) их операторными изображениями. Он позволяет перенести решение из области функций действительного переменного t в область комплексного переменного

При этом операции дифференцирования и интегрирования функций времени заменяются соответствующими операциями умножения и деления функции комплексного переменного на оператор р, что существенно упрощает расчеты, так как сводит дифференциальные уравнения к алгебраическим. Кроме того, в операторном методе отпадает необходимость в определении постоянных интегрирования.

Связь между оригиналом и изображением устанавливается с помощью преобразования Лапласа

где f(t) – функция времени, определяемая при  и удовлетворяющая условию ограниченного роста

Множитель М и показатель роста С₀ – положительные действительные числа. Область определения функции комплексного переменного F(p) в этом случае имеет вид (рис. 11.18)

Переход от изображения к оригиналу осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа

Функция  f(t)  называется  оригиналом, функция F(p) – изображением. Соотношение между оригиналом и изображением записывается  в виде 

Рассмотрим примеры определения изображения с использованием прямого преобразования Лапласа.

1. Изображение постоянной А.

2. Изображение экспоненты 

На практике для определения изображения или оригинала пользуются готовыми таблицами. Рассмотрим наиболее распространенные соотношения между оригиналом и изображением.

Как уже говорилось, использование операторного метода позволяет избавиться от операций дифференцирования и интегрирования.

1.Операторное изображение производной

Изображение второй производной имеет вид

Изображение п-й производной

Например, напряжение на индуктивности записывается в виде

Тогда его операторное изображение можно представить как

2. Операторное изображение интеграла

Например, напряжение на конденсаторе определяется формулой

Тогда его операторное изображение можно представить как