12.1. Разложение периодических несинусоидальных сигналов в ряд Фурье

Теория  /  12.1. Разложение периодических несинусоидальных сигналов в ряд Фурье

При передаче информации по каналам связи, в процессе преобразования сигналов в различных устройствах, как правило, используют несинусоидальные колебания, поскольку чисто гармонические колебания не могут являться носителями информации. Несинусоидальный характер также приобретают токи и напряжения, проходящие через нелинейные элементы.

Для передачи сообщений осуществляют модуляцию гармонического колебания по амплитуде, частоте или фазе либо используют импульсные сигналы, модулируемые по амплитуде, ширине или временному положению.

Отличительной чертой указанных сигналов является сложный негармонический характер. Все это приводит к необходимости разработки специальных методов анализа и синтеза электрических цепей, находящихся под воздействием несинусоидальных или непериодических токов и напряжений.

Основу этих методов составляет разложение периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье или представление непериодических функций с помощью интеграла Фурье.

Для расчета цепей несинусоидального тока применяют теорему Фурье, согласно которой любая несинусоидальная периодическая функция f(ωt) может быть представлена в виде суммы ряда составляющих, из которых одна составляющая ряда – постоянная, а остальные являются синусоидальными функциями с частотами, кратными частоте основного сигнала.

Условием применимости теоремы Фурье являются условия Дирихле: за время периода Т функция f(ωt) должна иметь конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов. Обычно для реальных электрических сигналов это условие выполняется.

Ряд Фурье можно записать в виде

Синусоидальные функции с кратными частотами называются гармониками; А₁, А₂ …А_п – амплитуды гармоник; ψ1, ψ2...ψ_п – начальные фазы гармоник. Частота первой гармоники равна частоте  исходного сигнала ωt, частота второй гармоники в два раза больше  – 2ωt, третьей  – 3ωt и так далее. Первая гармоника называется основной, остальные – высшие гармоники.

Пример графической интерпретации разложения показан на рис. 12.1.

Если просуммировать мгновенные значения всех гармоник, то можно получить кривую, близкую по форме к исходному сигналу. Чем большее число членов ряда учитывается, тем точнее разложение.

Ряд Фурье можно представить в другом виде. Воспользуемся тригонометрической формулой для синуса суммы двух углов

тогда каждую гармонику можно записать как

Так как А_п и ψ_п – величины постоянные, то можно обозначить:

Тогда ряд Фурье можно представить в виде суммы синусных и косинусных составляющих с нулевыми начальными фазами.

В_п и С_п – коэффициенты разложения, которые находят по формулам:

А₀ – постоянная составляющая:

Эти формулы справедливы, если аргумент синусоидальной функции выражен в радианной мере. Для временной зависимости  f(t) они будут иметь вид:

Как видно из формулы, постоянная составляющая представляет собой среднее значение функции за период.

Обратный переход от одной формы записи к другой осуществляется через определение амплитуды и начальной фазы каждой гармоники

Записанные нами разложения представляют собой тригонометрическую форму ряда Фурье.