12.6. Комплексная форма ряда Фурье

Теория  /  12.6. Комплексная форма ряда Фурье

Рассмотренное выше выражение

является тригонометрической формой ряда Фурье. Для анализа электрических цепей часто бывает удобнее использовать ряд Фурье в комплексной форме.

Воспользуемся формулами Эйлера, согласно которым тригонометрические функции можно выразить через экспоненциальные:

Подставим формулы Эйлера в выражение для ряда Фурье и преобразуем

Введем комплексные коэффициенты:

Тогда ряд Фурье можно записать следующим образом:

Представив суммирование  от 1 до ∞ как суммирование  в области отрицательных п, получим

Положив        получим

Здесь   –  комплексная амплитуда п-й гармоники 

где

      

-модуль комплексной амплитуды;

    

- аргумент комплексной амплитуды

Подставим в  выражение для комплексной амплитуды коэффициенты:

получим

где п = 0; ± 1;  ± 2 …

Совокупность амплитуд , отложенных относительно положительных и отрицательных частот, образует симметричный относительно оси ординат линейчатый амплитудный спектр (рис. 12.5).

Совокупность аргументов , отложенных против соответствующих положительных и отрицательных частот, образует симметричный относительно оси ординат линейчатый фазовый спектр (рис. 12.6).

Следует отметить, что понятие отрицательной частоты не имеет физического смысла, однако оно удобно для теоретических исследований.