13.3. Интеграл Дюамеля и интеграл наложения

Теория  /  13.3. Интеграл Дюамеля и интеграл наложения

Интеграл Дюамеля может быть получен, если аппроксимировать приложенное на входе цепи воздействие f₁(t) с помощью совокупности единичных функций, сдвинутых друг относительно друга на время, равное Δτ  (рис.13.7).

Реакция цепи f₂(t) на каждое ступенчатое воздействие определится как

Результирующую реакцию цепи на систему ступенчатых воздействий найдем по принципу наложения:

где п – число аппроксимирующих участков, на которые разбит интервал времени от 0 до t.

Умножим и разделим выражение под знаком суммы на Δτ  и перейдем к пределу с учетом того, что при 

получим первую форму интеграла Дюамеля

Вторая форма имеет вид

Третья и четвертая формы имеют вид:

При нахождении реакции цепи с помощью интеграла наложения используется импульсная характеристика h(t). Для получения общего выражения интеграла наложения аппроксимируем входной сигнал f₁(t) с помощью системы единичных импульсов длительностью dτ c амплитудой f₁(τ) и площадью f₁(τ) dτ (рис. 13.8).

Выходная реакция  цепи на каждый из единичных импульсов

Используя принцип наложения, получим суммарную реакцию цепи на систему единичных импульсов: