14.2. Решение уравнений однородной линии

Теория  /  14.2. Решение уравнений однородной линии 

Рассмотрим решение телеграфных уравнений при установившемся синусоидальном режиме. В этом случае мы можем перейти к комплексам напряжения и тока, которые не зависят от времени, следовательно, уравнения в частных производных сводятся к обычным дифференциальным уравнениям:

Продифференцируем первое уравнение по х:

Подставим в него        из второго уравнения:

или

где обозначили   

Величина γ называется коэффициентом распространения. В общем случае это величина комплексная: γ = α + јβ, где α – коэффициент затухания,  β – коэффициент фазы.

Решение этого уравнения ищем в виде

Дифференцируя это выражение, находим уравнение для тока

где

 –  волновое или характеристическое сопротивление линии.

Определим постоянные интегрирования. Обозначим индексом 1 ток и напряжение в начале линии, а индексом 2 – в конце. Будем считать, что ток  и напряжение U1 в начале линии (при х = 0) известны, тогда

Отсюда

Подставим эти значения в выражения для тока и напряжения:

Воспользовавшись соотношениями Эйлера:

получим выражения для тока и напряжения в любой точке линии:

В конце линии при x = l получим:

Обычно этими уравнениями пользуются, считая известными токи и напряжения в конце линии (в нагрузке). Тогда в начале линии получим:

Система уравнений в любой точке линии будет иметь следующий вид:

При согласованных нагрузках, когда Z₁ = Z₂ = Z_B,  уравнения линии сводятся к более простому виду:

Отношение  мощностей   в  начале  и  конце  линии  выражается  соотношением

Волновое сопротивление и коэффициент распространения – вторичные параметры линии – широко используются для определения эксплуатационно-технических качеств линии связи.

Волновое сопротивление – это сопротивление, которое встречает электромагнитная волна при распространении вдоль однородной линии без отражения. Оно свойственно данному типу кабеля и зависит только от первичных параметров и частоты передаваемого тока.

Коэффициент распространения характеризует потери энергии в цепи передачи – это величина комплексная и может быть записана в следующем виде: γ = α + јβ.

Соотношения токов и напряжений в начале и в конце линии можно представить в виде

Модуль этого выражения  характеризует уменьшение абсолютного значения тока или напряжения при прохождении вдоль линии длиной l, коэффициент α называют коэффициентом затухания. Аргумент  характеризует  изменение  угла  векторов  тока или напряжения вдоль линии,  β – коэффициент фазы.

Коэффициент  затухания на единицу длины линии определяется по формуле  измеряется в неперах или в белах (децибелах). Для децибелов вышеприведенная формула примет вид

Коэффициент фазы, в свою очередь, зависит от первичных параметров линии. Таким образом, коэффициент затухания определяет качество и дальность связи, коэффициент фазы скорость перемещения энергии по линии связи.