1.4. Пассивные элементы электрических цепей (резистор, катушка, конденсатор)

Теория  /  1.4. Пассивные элементы электрических цепей (резистор, катушка, конденсатор)

К пассивным элементам относятся три основных компонента:

→ резистивный элемент (сопротивление),
→ индуктивность,
→ ёмкость.

Они не генерируют энергию, а лишь потребляют, накапливают или преобразуют её. В этом разделе рассмотрим первый из них — резистивный элемент.

1.4.1. Резистивный элемент

Резистивный элемент — это идеализированная модель участка цепи, в котором происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие формы: тепловую (нагрев), световую (лампы), механическую (электродвигатели).

Важно: в резистивном элементе не накапливается энергия электрического или магнитного поля — вся подводимая энергия рассеивается.

Обозначение и характеристика

На схемах линейный резистивный элемент обозначается как прямоугольник с указанием символа $R$ и направления тока $i$ (рис. 1.13, а).

Рис. 1.13 - Обозначение резистора а) и его вольт-амперная характеристика б)

Его ключевая особенность — линейная вольт-амперная характеристика (ВАХ), которая представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (рис. 1.13, б). Угол наклона этой прямой определяется сопротивлением $R$ :

где $\alpha$ — угол между осью тока и характеристикой, отсчитываемый в выбранном масштабе.

Закон Ома и основные параметры

Связь между током $i$ и напряжением $u$ в резистивном элементе описывается законом Ома:

Из него следуют две эквивалентные формы:

где:

• $R=\frac{u}{i}$ [Ом] — сопротивление — количественная оценка способности элемента препятствовать току;
• $g=\frac{i}{u}$ [См] — проводимость — величина, обратная сопротивлению.

Оба параметра — скалярные и положительные для линейных резисторов.

Мощность и энергия

Мощность, выделяемая в резистивном элементе в виде тепла, определяется выражением:

Это — квадратичная функция тока или напряжения. Поэтому мощность не может быть отрицательной — она всегда положительна или равна нулю.

Следствие: энергия всегда поступает в резистивный элемент от источника — он не отдаёт энергию обратно. Это отличает его от реактивных элементов (индуктивности и ёмкости).

1.4.2. Индуктивный элемент (индуктивность)

Индуктивность — это идеализированный пассивный элемент электрической цепи, который накапливает энергию в магнитном поле. По своим свойствам он приближён к реальной индуктивной катушке, но без потерь на нагрев или излучение.

В отличие от резистора, индуктивный элемент не рассеивает энергию, а временно её запасает — и может отдавать обратно в цепь. Это делает его ключевым звеном в фильтрах, трансформаторах и импульсных источниках питания.

Обозначение и символ

На схемах индуктивный элемент обозначается как спираль с буквой $L$ (рис. 1.14).
Ток через индуктивность обозначают как $i_L$ , напряжение — как $u_L$ .

Символ $L$ используется не только для обозначения элемента, но и для описания количественной характеристики — индуктивности цепи.

Рис. 1.14 - Обозначение индуктивного элемента 

Определение индуктивности

Индуктивность $L$ — это отношение потокосцепления $\psi$ к току $i_L$ :

где:

• $\psi$ — потокосцепление, равное сумме произведений магнитных потоков $\Phi$ и числа витков $w$ : $\psi =\Phi w$ ;
• $i_L$ — ток, протекающий по катушке.

Потокосцепление и ток всегда имеют одинаковый знак → индуктивность $L$ — величина всегда положительная.

Если зависимость $\psi (i)$ линейна, то $L=\text{const}$ . В этом случае вебер-амперная характеристика представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (рис. 1.15).

Рис. 1.15 - Вебер-амперная характеристика катушки

Угол наклона этой прямой определяет значение индуктивности:

Электродвижущая сила самоиндукции

По закону Фарадея — Максвелла, изменение потокосцепления во времени вызывает электродвижущую силу самоиндукции:

Знак «минус» соответствует закону Ленца: ЭДС самоиндукции всегда препятствует изменению тока, вызвавшего её.

Чтобы уравновесить эту ЭДС, к индуктивности нужно приложить внешнее напряжение, равное ей по величине, но противоположное по знаку. Это напряжение называют падением напряжения на индуктивности:

Положительное направление напряжения $u_L$ совпадает с положительным направлением тока $i_L$ .

Ток через индуктивность

Ток, протекающий через индуктивность, можно выразить через интеграл от напряжения:

Мгновенная мощность и энергия

Мгновенная мощность в индуктивности:

• Если знаки $i_L$ и $u_L$ совпадают ($p_L>0$ ) — индуктивность поглощает энергию, запасая её в магнитном поле.
• Если знаки разные ($p_L<0$ ) — индуктивность отдаёт энергию обратно в цепь.

Энергия, запасённая в индуктивности:

При $t=-\infty$ принимаем $i_L=0$ , поэтому энергия всегда положительна ($W_L>0$ ).

Особый случай: постоянный ток

Если ток в цепи постоянен ($i_L=\text{const}$ ), то:

То есть индуктивность в цепи постоянного тока ведёт себя как короткое замыкание — она не создаёт падения напряжения.

1.4.3. Ёмкостный элемент (ёмкость)

Ёмкостный элемент — это идеализированный пассивный компонент, который накапливает энергию в электрическом поле между двумя проводниками, разделёнными диэлектриком. В реальности ему наиболее близок электрический конденсатор, особенно с хорошим диэлектриком и на низких частотах.

В отличие от резистора, ёмкость не рассеивает энергию. В отличие от индуктивности — она запасает энергию не в магнитном, а в электрическом поле. Это делает её незаменимой в фильтрах, блоках питания, схемах задержки и связи.

Обозначение и символ

На схемах ёмкостный элемент обозначается как две параллельные линии с буквой $C$ (рис. 1.16).
Ток через ёмкость — $i_C$ , напряжение — $u_C$ .

Символ $C$ используется как для обозначения элемента, так и для его количественной характеристики — ёмкости.

Рис. 1.16 - Обозначение конденсатора на схеме

Определение ёмкости

Ёмкость $C$ — это отношение заряда $q$ , накопленного на обкладках элемента, к напряжению $u_C$ между ними:

При подключении ёмкости к источнику напряжения на её обкладках накапливается заряд, величина которого связана с напряжением соотношением:

Дифференцируя это выражение по времени, получаем связь между током и скоростью изменения напряжения:

Если известен ток, то напряжение на ёмкости можно найти, проинтегрировав ток:

Кулон-вольтовая характеристика

Зависимость заряда $q$ от напряжения $u_C$ для линейной ёмкости — прямая линия, проходящая через начало координат (рис. 1.17).

Рис. 1.17 - Кулон-вольтовая характеристика

Угол наклона этой прямой определяет значение ёмкости:

Так как заряд и напряжение всегда имеют одинаковый знак, ёмкость $C>0$ — величина всегда положительная.

Мгновенная мощность и энергия

Мгновенная мощность в ёмкостном элементе:

• Если знаки $u_C$ и $i_C$ совпадают ($p_C>0$ ) — ёмкость поглощает энергию, запасая её в электрическом поле.
• Если знаки разные ($p_C<0$ ) — ёмкость отдаёт энергию обратно в цепь — в этом режиме она работает как источник энергии.

Энергия, запасённая в ёмкости:

Поскольку энергия пропорциональна квадрату напряжения, она всегда положительна ($W_C>0$ ).

Особый случай: постоянное напряжение

Если ёмкость подключена к источнику постоянного напряжения $U_C=\text{const}$ , то:

То есть в цепи постоянного тока ёмкость ведёт себя как разрыв — ток через неё не протекает.

---

Интересный факт 💡
Резистор, катушка и конденсатор — «три кита» электрических цепей — были открыты в разные века и в разных странах:
→ Резистор (через закон Ома) — 1827 г.,
→ Индуктивность (через опыты Фарадея и Генри) — 1830‑е гг.,
→ Ёмкость (в виде лейденской банки) — 1745 г.
Но только в XX веке инженеры поняли: соединяя эти три элемента, можно создать любую линейную цепь — от радиоприёмника до спутниковой антенны. Сегодня они лежат в основе каждого электронного устройства на Земле.