3.2.3. Метод узловых потенциалов

Теория  /  3.2. Методы расчета сложных электрических цепей  /  3.2.3. Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов заключается в том, что сначала находят потенциалы всех узлов схемы, а потом по известным потенциалам, используя обобщенный закон Ома, определяют токи в ветвях.

Количество уравнений, составляемых по методу узловых потенциалов, определяется числом независимых узлов N = n – 1.

Заземляем один из узлов. Как  правило, заземляется узел, в котором сходится больше ветвей. Заземлим узел 3 (рис. 3.4), то есть полагаем 

Выразим токи в ветвях через потенциалы.

Для узлов 1 и 2 составим уравнения по первому закону Кирхгофа:

Подставим в эти уравнения выражения для токов, раскрывая скобки:

Преобразуем выражения:

Эту систему уравнений можно записать в общем виде и при расчетах сразу использовать готовую модель:

Здесь

– собственные проводимости узлов, они определяются суммой проводимостей всех ветвей, сходящихся в данном узле;

– взаимные проводимости, то есть проводимости ветвей, расположенных между соответствующими узлами;

Для того чтобы рассчитать узловые токи, из всех ветвей, сходящихся в данном узле, выбираем те, которые содержат источники,  умножаем  ЭДС  каждого источника на проводимость ветви, в  которой он находится. Если в одном узле сходятся несколько ветвей с источниками, как, например, в узле 2, то находим их алгебраическую сумму. Если источник направлен к узлу, то узловой ток берем со знаком «плюс», если от узла – «минус».

Решая полученную систему любым способом, находим потенциалы узлов 1 и 2, и, подставляя их в полученные выражения для токов, находим токи.

 Достоинство данного метода состоит в том, что он позволяет свести количество уравнений в схеме к минимуму.

Недостаток состоит в следующем. Рассчитывая цепь методом узловых потенциалов, мы работаем с проводимостями ветвей. Проводимость – величина обратная сопротивлению, и при больших значениях сопротивлений проводимости малы. Отсюда точность метода узловых потенциалов ниже, чем у метода контурных токов, поэтому метод узловых потенциалов целесообразно применять тогда, когда  число уравнений, составляемых по методу узловых потенциалов, меньше, чем по методу контурных токов, как в нашем случае.