13.1. Спектральный анализ непериодических сигналов

Теория  /  13.1. Спектральный анализ непериодических сигналов

Для анализа электрических цепей, в которых действуют непериодические сигналы, используют спектральные представления, базирующиеся на паре преобразований Фурье, которые могут быть получены путем предельного перехода от ряда Фурье в комплексной форме.

Пусть имеется некоторый непериодический сигнал f(t), удовлетворяющий условию абсолютной интегрируемости в бесконечных пределах

С физической точки зрения это означает, что задается реализуемый сигнал с конечной энергией, при этом

то есть модуль сигнала f(t) имеет ограниченный показатель роста.

Мысленно превратим этот сигнал в периодический путем его повторения через определенный промежуток времени, который будем считать периодом Т (рис. 13.1).

К полученному таким образом сигналу можно применить разложение Фурье в комплексной форме

где обозначили:

Подставим  в предыдущее уравнение

Перейдем в этом выражении к пределу, учитывая, что при Т→∞ ;    

Внутренний интеграл

называется спектром сигнала.

С учетом спектра сигнала исходный сигнал можно записать

Уравнение (13.1) называют прямым преобразованием Фурье; уравнение (13.2) – обратным преобразованием Фурье.

Поскольку спектр сигнала F(jω) – комплексная функция частоты, то он может быть записан в алгебраической и показательной формах:

где

Здесь

Между спектрами периодического и непериодического сигналов существует следующая связь:

В отличие от линейчатого спектра периодических сигналов, спектр непериодических сигналов носит сплошной характер (разница соседних частот равна dω).

Сигналы f(t)  и спектры F(jω) обладают рядом свойств:

1) свойство линейности

где а_k – коэффициенты разложения;

2) дифференцирование сигнала соответствует умножению его спектра на величину jω:

3) интегрирование сигнала соответствует делению его спектра на jω:

4) смещение сигнала во времени на величину τ :

5) умножение спектров (теорема свертки):

6) изменение масштаба независимого переменного:

Из всего вышеизложенного в данной главе следует, что  периодический несинусоидальный и непериодический сигналы могут быть представлены суперпозицией гармонических составляющих.