4.6. Символический метод анализа электрических цепей

Теория  /  4.6. Символический метод анализа электрических цепей

Метод анализа электрических цепей, основанный на символическом изображении действительных синусоидальных функций времени комплексными изображениями называется комплексным или символическим методом.

Достоинством этого метода является то, что он позволяет исключить зависимость токов и напряжений от времени и свести интегральные и дифференциальные уравнения к алгебраическим.

Рассмотрим суть этого метода. Возьмем синусоидальный ток

Синусоидальную функцию можно выразить через экспоненту:

Сопоставив это выражение с записью комплексного числа, получим

Эта величина называется комплексной амплитудой. Модуль комплексной амплитуды равен амплитуде синусоидального тока, а аргумент – начальной фазе синусоидального тока.

Множитель  представляет собой оператор поворота. Мы знаем, что синусоидальный ток можно представить вектором, вращающимся со скоростью ωt, но для анализа электрических цепей удобнее рассматривать неподвижные вектора, поэтому этот множитель, который будет одинаков для всех токов и напряжений в цепи, при расчетах отбрасывают и расчет ведут только для комплексных амплитуд.

Найдем производную тока по времени

Найдем интеграл от тока

Таким образом, дифференцирование можно заменить умножением комплексной амплитуды на jω, а интегрирование – делением на jω.

Использование этого метода позволяет выразить, например,  напряжения на индуктивности и емкости через комплексные амплитуды тока.

Напряжение на индуктивности     

Переходя к комплексным амплитудам, и учитывая вышеприведенные соотношения, получим

Напряжение на емкости

От комплексных амплитуд можно перейти к комплексным действующим значениям напряжения и тока. Для них справедливо то же соотношение, что и для синусоидальных величин

Комплексные действующие значения называют просто комплексами напряжения или тока.